例題2

$$\frac{d^2y}{dx^2}+5\frac{dy}{dx}+6y = xe^{-x}$$

特殊解を利用する場合

1. 上の方程式の解を
   
   $$y_p = (ax+b)e^{-x}$$
   
   
   と仮定する。

   $y_p$をもとの方程式に代入し、方程式が成立するよう定数$a, b$を 決定する。

   $$\begin{eqnarray*} \{(ax+b)e^{-x}\}''+ 5\{(ax+b)e^{-x}\}'+6(ax+b)e^{-x} &&\\ ... ...x}+5\{-ax+(a-b)\}e^{-x}}&&\\ {+6(ax+b)e^{-x}}&&\\ =xe^{-x}&& \end{eqnarray*}$$
   
   
   両辺を$e^{-x}$で割算し、整理する。
   
   $$2ax+4a+2b=x$$
   
   
   この式が$x$の値によらず成立するには、
   $$\begin{eqnarray*} a &=& \frac{1}{2}\\ b&=& -\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$$
   
   
   したがって、特殊解として
   
   $$y_p = \frac{2x-3}{4}e^{-x}$$
   
   
   が得られる。
2. 補助方程式
   
   $$\frac{d^2y}{dx^2}+5\frac{dy}{dx}+6y = 0$$
   
   
   を解く。

   特性方程式より、
   

   $$m^2+5m+6=0\quad\rightarrow\quad m=-2, -3$$
   
   
   余関数が求まる:
   
   $$y_c=Ae^{-2x}+Be^{-3x}$$
   
   

3. したがって、求める方程式の一般解は
   
   $$y=y_c+y_p = y_c=Ae^{-2x}+Be^{-3x}+ \frac{2x-3}{4}e^{-x}$$
   
   

定数変化法

1. 先に求めたように、補助方程式を解いて余関数
   
   $$y_c=Ae^{-2x}+Be^{-3x}$$
   
   
   が得られる。
2. 上式の$A, B$を $u_1(x), u_2(x)$で置き換えて、元の微分方程式に 代入する。
   $$\begin{eqnarray*} y&=& u_1e^{-2x}+u_2e^{-3x}\\ y'&=& {u_1}'e^{-2x}+{u_2}'e^{-3x}\\ &&-2u_1e^{-2x}-3u_2e^{-3x} \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから、
   

   $${u_1}'e^{-2x}+{u_2}'e^{-3x}=0$$ (1)

   
   
   となるように、$u_1, u_2$を選ぶ。 このとき、
   $$\begin{eqnarray*} y'&=& -2u_1e^{-2x}-3u_2e^{-3x}\\ y''&=& -2{u_1}'e^{-2x}-3{u_2}'e^{-3x}\\ &&+4u_1e^{-2x}+9u_2e^{-3x} \end{eqnarray*}$$
   
   
   となるので、元の微分方程式に代入して整理すると、
   
   $$-2{u_1}'e^{-2x}-3{u_2}'e^{-3x}=xe^{-x}$$
   
   
   が得られる。

   この式と、式(1)を連立方程式として、 ${u_1}', {u_2}'$について解くと、

   $$\begin{eqnarray*} {u_1}'&=& xe^{x}\\ {u_2}'&=& -xe^{2x} \end{eqnarray*}$$
   
   
   より、
   $$\begin{eqnarray*} {u_1}&=& \int xe^{x}dx = (x-1)e^x+A\\ {u_2}&=& -\int xe^{2x}dx = -\frac{2x-1}{4}e^{2x}+B \end{eqnarray*}$$
   
   
   以上より、
   $$\begin{eqnarray*} y&=& \{(x-1)e^x+A\}e^{-2x}+\{-\frac{2x-1}{4}e^{2x}+B\}e^{-3x}\\ &=&\frac{2x-3}{4}e^{-x}+Ae^{-2x}+Be^{-3x} \end{eqnarray*}$$