例題1

$$\frac{dy}{dx}+2y = xe^{-x}$$

特殊解を利用する場合

1. 上の方程式の解を
   
   $$y_p = (ax+b)e^{-x}$$
   
   
   と仮定する。
   $$\begin{eqnarray*} {y_p}' &=& ae^{-x}-(ax+b)e^{-x}\\ 2y &=& 2(ax+b)e^{-x} \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから、 上のように仮定することで、$a, b$を適切に選べば、左辺が 右辺と等しくなることが期待できる。

   $y_p$をもとの方程式に代入し、方程式が成立するよう定数$a, b$を 決定する。
   

   $$\{(ax+b)e^{-x}\}'+2(ax+b)e^{-x}=x e^{-x}$$
   
   
   
   
   $$\{ae^{-x}-(ax+b)e^{-x}\}+2(ax+b)e^{-x}=x e^{-x}$$
   
   
   両辺を$e^{-x}$で割算し、整理する。
   
   $$ax+a+b=x$$
   
   
   この式が$x$の値によらず成立するには、
   $$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl} a &=& 1\\ a+b&=& 0 \end{array} \quad\rightarrow\quad \begin{array}{lcl} a&=&1\\ b&=&-1 \end{array}\end{eqnarray*}$$
   
   
   したがって、
   
   $$y_p = (x-1)e^{-x}$$
   
   
   は与えられた微分方程式の解である。 この解には積分定数が含まれないので、一般解ではなく、 特殊解である。
2. 補助方程式
   
   $$\frac{dy_c}{dx}+2y_c=0$$
   
   
   を解く。

   特性方程式より、
   

   $$m+2=0\quad\rightarrow\quad m=-2$$
   
   
   余関数が求まる:
   
   $$y_c=Ae^{-2x}$$
   
   

3. したがって、求める方程式の一般解は
   
   $$y=y_c+y_p = Ae^{-2x}+(x-1)e^{-x}$$
   
   

定数変化法

1. 先に求めたように、補助方程式を解いて余関数
   
   $$y_c=Ae^{-2x}$$
   
   
   が得られる。
2. 上式の$A$を$u(x)$で置き換えて、元の微分方程式に 代入する。
   
   $$\{u(x)e^{-2x}\}'+2u(x)e^{-2x}=xe^{-x}$$
   
   
   
   
   $$u'(x)e^{-2x}=xe^{-x}$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} u'(x)&=& xe^{x}\\ u(x)&=& \int xe^{x}dx\\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   部分積分により、
   $$\begin{eqnarray*} u(x)&=& xe^x-\int e^xdx\\ &=& xe^x - e^x+C\\ &=&(x-1)e^x+C \end{eqnarray*}$$
   
   

3. したがって、求める方程式の一般解は、
   $$\begin{eqnarray*} y&=&\{(x-1)e^{x}+C\}e^{-2x}\\ &=& (x-1)e^{-x}+Ce^{-2x} \end{eqnarray*}$$