転置マトリクス

マトリクス要素の行と列を入れ替えたマトリクスをもとのマトリクスの 転置マトリクス(transpose)と呼ぶ。 転置マトリクスは、この後に説明する逆マトリクスの計算で必要となる。

マトリクス$A$の転置マトリクスを$A^{t}$と表す。
転置マトリクスの例:

$$\left[\matrix{a_{11}&a_{12}\cr a_{21}&a_{22}}\right]^{t} = \left[\matrix{a_{11}&a_{21}\cr a_{12}&a_{22}}\right]$$

マトリクス$A$, $B$の積を$C=AB$と表すとき、

$$C^{-t}=(AB)^{t}=B^tA^t$$

が成立する。

$$\begin{eqnarray*} c_{ij}&=& \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \end{eqnarray*}$$

であるから、行と列を交換すると、

$$\begin{eqnarray*} c_{ji}&=& \sum_{k=1}^n a_{jk}b_{ki}\\ &=&\sum_{k=1}^nb_{ki}a_{jk} \\ &=& \sum_{k=1}^n b_{ik}^ta_{kj}^t \end{eqnarray*}$$

ここで、$b_{ik}^t$, $a_{kj}^t$は、それぞれ、$B$, $A$の転置マトリクスの 要素を意味する。