オイラーの式 (Euler's formula>

1. オイラーの式
2. 三角関数と指数関数の関係
3. オイラーの式の証明

→三角関数と指数関数について

---

1. オイラーの式
   複素数を利用すると指数関数と三角関数は互いに次のような関係があることがわかる。 この関係は数学者オイラーの名前を取って、 オイラーの(関係)式、あるいは、オイラーの公式 (Euler's formula) と呼ばれている。 ここで、e は自然対数の底 e=2.71828... である。 指数関数 e^jx は exp(jx) と書くこともある。

   → オイラーの式(三角関数と指数関数の関係)

   ---

2. 三角関数と指数関数の関係
   上のオイラーの式において、θを x あるいは -x と置くことで次の関係式が得られる。 さらに、

   ---

3. オイラーの式の証明
   では、上のオイラーの式が正しいことを確かめてみよう。
   このためには、指数関数や三角関数の微分の知識が必要となる。

   指数関数e^xや、三角関数 sinx、cosx を マクローリン展開 すると、次のような級数で表される。

   ここで、指数関数 exp(x) の x を jx で置き換え、 級数を整理して実数部と虚数部にまとめるとオイラーの式が得られる：