指数関数と対数関数

冪乗$m=a^n$を一般化して、$x$を独立変数とする関数

$$y=a^x$$

をつくることができる。 以下、$a>0$かつ$a\ne1$とする。

$a$と$y$が与えられたとき、$a^x$が$y$と等しくなるような、$x$を

$$x =\log_ay$$

と書き表し、$\log_a y$を$a$を底とする対数と呼ぶ。

上の2つの式から$x$、あるいは、$y$を消去して、

$$\begin{eqnarray*} y &=& a^x \ =\ a^{\log_a y}\\ x &=& \log_a y \ =\ \log_a(a^x) \end{eqnarray*}$$

が成立する。

つぎに、

$$t = \log_a(x^p)\qquad\Rightarrow\qquad x^p = a^t$$

であるから、これを$x$について解くと、

$$\begin{eqnarray*} x&=& a^{\frac{t}{p}}\\ \frac{t}{p}&=& \log_a x\\ t&=& p\log_a x \end{eqnarray*}$$

上の2つの$t$を比べると、

$$t = \log_a(x^p)=p\log_a x$$

であることがわかる。

さらに、 $y_1=a^{x_1}, y_2=a^{x_2}$とすると、

$$x_1 = \log_a y_1,\qquad x_2=\log_a y_2$$

$$y_1\times y_2 = a^{x_1}\times a^{x_2}=a^{x_1+x_2}$$

であるから、

$$x_1+x_2=\log_a y_1+\log_a y_2=\log_a(y_1\times y_2)$$

が成立する。