自然対数

次へ: 数の分類 上へ: 指数関数と対数関数 戻る: [公式]

自然対数

10を底とする対数を常用対数と呼ぶ。常用対数は非常に大きな数や、微少な数の桁数(概数)を知る上で有用である。たとえば、

$\begin{displaymath} \log_{10}2000 = \log_{10}(2\times10^3) = 3+\log_{10}2\simeq 3.3 \end{displaymath}$

であることからもわかるように、その常用対数が $3.\cdots$ である数は、

桁の数値である。

このように、概数を求める上で常用対数は有用であるが、微分や積分を計算する上では $e=2.71828\cdots$ を底とする方が便利である。はネピアの数と呼ばれ、これを底とする対数を自然対数と呼んでいる。

指数関数と対数関数の関係、

$\begin{displaymath} y=a^x\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{10} y = x\log_{10} a \end{displaymath}$

から、 $\displaystyle y = {10}^{x\log_{10} a}$ と書き表すこともできるので、 $t=x\log_{10} a$ と置き換えれば、

$\begin{displaymath} \log_{10}y=t,\qquad y =10^{t},\qquad(t=x\log_{10}a) \end{displaymath}$

とあらわされる。したがって、

のグラフから、横軸

のスケールを変換して $y=a^{x}$ を表すことができる。このように、指数関数は

の選び方に依らず、同じようなグラフになる。

ところで、の微分を計算すると、

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}&=&\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ &=&\lim... ...h-1}{h}\\ &=& C\times a^x,\quad(C=\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}) \end{eqnarray*}$

と表されるので、

となるよう

を定めると、微分が簡潔な式になる。このためには、

$\begin{displaymath} 1=\frac{a^h-1}{h} \end{displaymath}$

と置く。この式を

について解くと、

$\begin{eqnarray*} h=a^h-1,\qquad a^h = h+1 \end{eqnarray*}$

より、

$\begin{eqnarray*} a &=& (1+h)^{1/h} = (1+\frac{1}{N})^{N},\quad(N=\frac{1}{h}) \end{eqnarray*}$

と表される。これより、

$\begin{displaymath} a =\lim_{N\to\infty}(1+\frac{1}{N})^N \end{displaymath}$

であれば、 $\displaystyle \frac{d}{dx}a^x=a^x$ となり、微分(導関数)がもとの関数と一致する。この

$\begin{displaymath} \lim_{N\to\infty}(1+\frac{1}{N})^N= 2.71828\cdots \end{displaymath}$

はネピアの数と呼ばれている。ネピアの数は無理数であるため、円周率を $\ \pi\$ と表すのと同様に、通常、記号

で表す。この表記はオイラーによって提案された。

指数関数とその導関数のグラフ

平成15年12月23日