複素平面(Gauss平面)

数直線を平面に拡張すれば、平面上の座標($a, b$)の点と複素数$z=a+bj$を 1対1に対応付けることができる。この複素数を表す平面を複素平面、あるいは、 ガウス平面と呼ぶ。 複素平面の横軸を実軸(real axis)、縦軸を虚軸(imaginary axis)と呼ぶ。

図 5: 複素平面

複素数$z$を複素平面に表したとき、原点から$z$までの距離を絶対値と呼 び、$\vert z\vert$と表す。

実軸から測った$z$までの角度を偏角と呼び、$\angle z$と表す。

$z=a+bj\ (a, b: \mbox{実数})$の絶対値、および、偏角を$r$, $\theta$とする と、次の関係式が成り立つ:

$$\begin{eqnarray*} z&=&a+bj \ =\ r(\cos\theta+j\sin\theta)\\ \vert z\vert&=&r\... ...\ \sqrt{a^2+b^2}\\ \angle z &=&\theta\ =\ \tan^{-1}\frac{b}{a} \end{eqnarray*}$$

複素数を絶対値と偏角を用いて表したものを極形式と呼んでいる。

[例]

$$\vert 3+4j\vert=\sqrt{3^2+4^2}=5,\qquad \angle(-1+j)=\frac{3}{4}\pi$$