三角分布

式(15)より，

• 規格化
  $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)=1$$

  $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) dx =\frac{1}{6\sigma^2} \int_{\overline{x}-\sqrt{6}\sigma}^{\overlin... ...\sqrt{6}\sigma} \left\{\sqrt{6} \sigma - \vert x-\overline{x}\vert\right\} dx$$

  
  
  $x=u+\overline{x}$ と変数変換して，

  $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) dx =\frac{1}{6\sigma^2} \int_{-\sqrt{6}\sigma}^{\sqrt{6}\sigma} \left\{\sqrt{6} \sigma - \vert u\vert\right\} du$$

  
  
  $u\ge0$ の場合に， $u=\sqrt{6}\sigma-t$ , $u\le0$ の場合に， $u=t-\sqrt{6}\sigma$ と変数変換する：

  $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) dx = \frac{1}{6\sigma^2} \int^{\sqrt{6}\sigma}_{0} t dt +\frac{1}{6\sigma^2}\int_0^{\sqrt{6}\sigma}t dt = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$

  
  

• 平均値
  $$\overline{x}=\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x) dx$$
  式(15)の$x$ を $x=\overline{x}+ \sqrt{6}\sigma u$ と変数変換する：

  $$\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x) dx =\frac{1}{6\sigma^2}\times \sqrt{6}\sigma\int_{-1}^1 \left(\sqrt{6}\sigma u+\overline{x}\right) \sqrt{6}\sigma\left(1-\vert u\vert\right) du$$

  $$=\int_{-1}^0(\sqrt{6}\sigma u+\overline{x})(1+u) du +\int_0^1(\sqrt{6}\sigma u+\overline{x})(1-u) du$$

  
  
  第1項を$u\to -u$ と変換すると，

  $$\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x) dx = \int_{0}^1 \left\{(-\sqrt{6}\sigma u+\overline{x})(1-u) +(\sqrt{6}\sigma u+\overline{x})(1-u)\right\} du$$

  $$= 2\overline{x} \int_{0}^1(1-u)du$$

  $$=2\overline{x}\times\frac{1}{2} = \overline{x}$$

  
  

• 標準偏差
  $$\sigma^2=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\overline{x})^2 f(x) dx$$
  式(15)の$x$ を $x=\overline{x}+ \sqrt{6}\sigma u$ と変数変換する：

  $$\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\overline{x})^2 f(x) dx =\frac{1}{6\sigma^2}\times \sqrt{6}\sigma\int_{-1}^1 \left(\sqrt{6}\sigma u\right)^2 \sqrt{6}\sigma\left(1-\vert u\vert\right) du$$

  $$=\int_{-1}^0(\sqrt{6}\sigma u)^2(1+u) du +\int_0^1(\sqrt{6}\sigma u)^2(1-u) du$$

  
  
  第1項を$u\to -u$ と変換すると，

  $$\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\overline{x})^2 f(x) dx = \int_{0}^1 2(\sqrt{6}\sigma u)^2(1-u) du$$

  $$= 12\sigma^2\int_0^1u^2(1-u) du$$

  $$= 12\sigma^2\times\frac{1}{12} = \sigma^2$$