正規分布

$$f(x)= A e^{-a (x-b)^2}$$

とする．ただし，$a>0$ .

• 規格化
  $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)=1$$
  より，
  $$A\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a (x-b)^2} dx=1$$
  $x=u/\sqrt{a}+b$ と変数変換すると，
  $$\frac{A}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^2} du=1$$
  $$\sqrt{\frac{\pi}{a}} A=1$$
  $$A=\sqrt{\frac{a}{\pi}}$$

• 平均値
  $$\overline{x}= \sqrt{\frac{a}{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-a(x-b)^2} dx$$
  $x=u/\sqrt{a}+b$ と変数変換して，

  $$\overline{x} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{u}{\sqrt{a}}+b) e^{-u^2} du$$

  $$=\frac{b}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du$$

  $$=b$$

  
  

• 標準偏差

  $$\sigma^2 = \sqrt{\frac{a}{\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} (x-\overline{x})^2 e^{-a(x-\overline{x})^2} dx$$

  
  
  $x=u/\sqrt{a}+\overline{x}$ と変数変換して，

  $$\sigma^2 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{+\infty} u^2 e^{-u^2} du$$

  $$= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{1}{a} \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

  $$=\frac{1}{2a}$$

  
  

以上より， $a=1/(2\sigma^2)$ , $A=1/(\sqrt{2\pi} \sigma)$ , $\overline{x}=b$ であるから，正規分布は式(14)で表される．