一様分布

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} h& a-d<x<a+d\\ 0& \text{その他} \end{array} \right.$$

とする．

• 規格化
  $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) dx = 1$$
  $$2dh=1\qquad\Rightarrow\qquad h = \frac{1}{2d}$$

• 平均値

  $$\overline{x} =\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x) dx$$

  $$= \int_{a-d}^{a+d}x\times \frac{1}{2d} dx$$

  $$= \frac{1}{4d}\left[x^2\right]_{a-d}^{a+d}$$

  $$= a$$

  
  

• 標準偏差

  $$\sigma^2 =\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\overline{x})^2 f(x) dx$$

  $$=\int_{\overline{x}-d}^{\overline{x}+d}(x-\overline{x})^2\frac{1}{2d} dx$$

  $$=\frac{1}{2d}\times\frac{1}{3} \left[(x-\overline{x})^3\right]_{\overline{x}-d}^{\overline{x}+d}$$

  $$= \frac{d^2}{3}$$

  
  

以上より，$h=1/(2d)$ , $a=\overline{x}$ , $d=\sqrt{3} \sigma$ であるから， 一様分布関数は式(13)で表される．