積分

$$I = \int_0^\infty e^{-x^2} dx$$

と置くと

$$I^2 = \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty e^{-y^2}dy$$

$$= \int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)} dx dy$$

ここで，この2重積分を円筒座標系を用いて，

$$x = r\cos\theta$$

$$y = r\sin\theta$$

と変数変換する．

$$dx dy = r dr d\theta$$

$$x^2+y^2 = r^2$$

であるから

$$I^2 = \int_0^{\pi/2}\left\{\int_0^\infty r e^{-r^2} dr\right\} d\theta$$

$$= \int_0^{\pi/2}\left[-\frac{1}{2} e^{-r^2}\right]_0^\infty d\theta$$

$$= \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2}\left(-0+1\right) d\theta$$

$$= \frac{\pi}{4}$$

となり，

$$I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

したがって，

$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2} dx = 2\int_0^{\infty}e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 e^{-x^2} dx = 2\int_0^\infty x^2 e^{-x^2} dx$$

$$= -\int x \left(-2x e^{-x^2}\right) dx$$

部分積分により

$$\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 e^{-x^2} dx = -\left[\int x e^{-x^2} \right]_0^\infty +\int_0^\infty e^{-x^2} dx$$

$$= 0+ \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$