例題

$\begin{eqnarray*} 2x_0+3x_1-x_2 &=& 5\\ 4x_0+4x_1-3x_2&=& 3\\ 2x_0-3x_1+x_2 &=& -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccc@{\hspace{2ex}:\ }c} 2& 3& -1& 5\\ 4& 4& -3& 3\\ 2&-3& 1& -1 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

前進消去法

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccc@{\hspace{2ex}:\ }c} 1& 3/2& -1/2& 5/2\\ 4& 4& -3& 3\\ 2&-3& 1& -1 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccc@{\hspace{2ex}:\ }c} 1& 3/2& -1/2& 5/2\\ 0& 1& 1/2& 7/2\\ 0& -6& 2& -6 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccc@{\hspace{2ex}:\ }c} 1& 3/2& -1/2& 5/2\\ 0& 1& 1/2& 7/2\\ 0& 0& 1& 3 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccc@{\hspace{2ex}:\ }c} 1& 3/2& -1/2& 5/2\\ 0& -2& -1& -7\\ 0& -6& 2& -6 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccc@{\hspace{2ex}:\ }c} 1& 3/2& -1/2& 5/2\\ 0& 1& 1/2& 7/2\\ 0& 0& 5& 15 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$
後退代入法

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccc@{\hspace{2ex}:\ }c} 1& 3/2& 0& 8/2\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{array}{ccc@{\hspace{2ex}:\ }c} 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$

からの範囲で乱数を発生させ， $A=[a_{i,j}]$ , $\vec{x}=[x_i]$ に代入して，

$\begin{eqnarray*} \vec{b}=A\vec{x} \end{eqnarray*}$

により， $\vec{b}$ を求める．計算には倍精度を使用し，単精度に丸めて $\vec{b}$ に代入する．

次に，連立方程式

$\begin{eqnarray*} A\vec{y}=\vec{b} \end{eqnarray*}$

をガウスの消去法により解く(単精度)．

連立方程式を解く過程で誤差が発生するので， $\vec{y}$ は $\vec{x}$ と完全には一致しない．

$\begin{eqnarray*} \mbox{error}=\left\vert x_i - y_i\right\vert _{\mbox{max}} \end{eqnarray*}$

を評価基準としてガウスの消去法で発生する誤差を調べる．

以下，1000回の試行により得られた結果を示す．縦軸は対数目盛( $\log_{10}(\mbox{error})$ ).

以上

T.Kinoshita
平成20年2月4日