フーリエ級数の近似

$F(t)$のフーリエ級数展開を$n$次の高調波までで打ち切って近似した関数

$$F_n(t)=A_0+\sum_{k=1}^{n} \left\{ A_k\cos\frac{2k\pi}{T}t+B_k\sin\frac{2k\pi}{T}t\right\}$$

の近似誤差を検討する。

$$\delta_n(t)=F_n(t)-F(t)$$

のノルムの２乗(自乗誤差ノルム)を計算すると、式の変形の後に

$$\begin{eqnarray*} \Vert\delta_n(t)\Vert^2 &=& \int_0^T \left( F(t)-A_0 -\su... ...2-TA_0^2-\frac{T}{2}\sum_{k=1}^n \left\{ A_k^2+B_k^2 \right\} \end{eqnarray*}$$

を得る。 式の変形の途中で三角関数の直交性を利用している。

この結果より、自乗誤差ノルム $\Vert\delta_{n}\Vert$は$n$の増加に伴って 単調に減少する。