フーリエ級数展開

$0\le t\le T$で定義された関数$F(t)$を上の直交完備な三角関数の列で展開す ることをフーリエ級数展開とよぶ。

$$F(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ A_n\cos\frac{2n\pi}{T}t+B_n\sin\frac{2n\pi}{T}t\right\}$$

をフーリェ級数、このときの展開係数 $A_n,(n=0,1,2,\cdots)\}, B_n, (n=1,2,3,\cdots)$をフーリェ係数とよぶ。

特に、信号処理や電気工学では $A_0$を$F(t)$の直流成分、

$$A_1\cos\frac{2\pi}{T}t+B_1\sin\frac{2\pi}{T}t$$

を基本波成分、

$$A_n\cos\frac{2n\pi}{T}t+B_n\frac{2n\pi}{T}t,\quad(n>1)$$

を高調波成分と呼ぶ。

直流成分、基本波成分、および、高調波成分の各振幅は、 三角関数の直交性を利用して

$$\begin{eqnarray*} A_0&=&\frac{1}{T}\langle{1,F(t)}\rangle \\ A_k&=&\frac{2}{T... ...\ B_k&=&\frac{2}{T}\langle{\sin\frac{2k\pi}{T}t, F(t)}\rangle \end{eqnarray*}$$

と表される。

上で定義したフーリエ級数展開により、$0\le t\le T$で定義された関数$F(t)$の 定義域を $-\infty<t<+\infty$へ拡張することができる。 定義域を拡張したフーリエ級数は、$T$を周期とする周期関数となる。