[例]

- 奇関数

$$f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} +1,& 2m<t<(2m+1)\\ -1,& (2m-1)<t<2m \end{array} \right.$$

ただし、 $m=0, \pm1, \pm2, \cdots$.

周期$T=2$であるから、

$$f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin{n\pi t}$$

と展開できる。 両辺に$\sin k\pi t$をかけ算し($k\le1$)、 1周期($-1<t<1$)に渡って積分することで展開係数が求まる。

$$\begin{eqnarray*} B_k&=& \int_{-1}^1 f(t)\sin k\pi tdt\\ &=& -\int_{-1}^0\sin... ...1, 3, 5, \cdots)\\ 0& (k=2, 4, 6, \cdots) \end{array} \right. \end{eqnarray*}$$

したがって、

$$\begin{eqnarray*} f(t)&=&\frac{4}{\pi}\sin\pi t+\frac{4}{3\pi}\sin3\pi t+\frac... ...&\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)}\sin(2n-1)\pi t \end{eqnarray*}$$

[例] - 偶関数 全波整流波形

$$f(t)=\vert\sin t\vert$$

周期を$T=\pi$とする偶関数であるから、

$$f(t)=\sum_{n=0}^\infty A_n\cos 2nt$$

と展開できる。 この式の両辺に$\cos2mt$をかけ算し1周期($0<t<\pi$)で積分すると、 展開係数が求まる：

$m=0$のとき、

$$\begin{eqnarray*} \pi A_0 &=& \int_0^\pi\vert\sin t\vert dt\\ &=& \int_0^\pi \sin tdt\\ &=& -\left[\cos t\right]_0^\pi\\ &=& 2 \end{eqnarray*}$$

$m\ne0$のとき、

$$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}A_m &=& \int_0^{\pi}\vert\sin t\vert\times\cos ... ...\\ &=& \frac{1}{2m+1}-\frac{1}{2m-1}\\ &=&-\frac{2}{4m^2-1} \end{eqnarray*}$$

したがって、

$$\begin{eqnarray*} f(t)&=& \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac... ...3\pi}\cos2t-\frac{4}{15\pi}\cos4t -\frac{4}{35\pi}\cos6t-\cdots \end{eqnarray*}$$

と展開することができる。

$-\pi/2<t<\pi/2$で積分して係数を求めることもできる。

16項までで計算を打ち切った場合のフーリエ級数を下図に示す。 連続関数をフーリエ級数展開した場合にはGibbs現象は発生していないことがわ かる。

さらに、この無限級数に対する近似の二乗誤差を計算すると、

$$\begin{eqnarray*} \delta_n^2 &=& \int_0^\pi \vert\sin t\vert^2dt -\left(\frac... ...}{2}-\frac{4}{\pi}-\frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^n\frac{1}{(4k^2-1)^2} \end{eqnarray*}$$

と表される。 下図に示す数値計算結果をみると、二乗誤差は$n^{-3}$のオーダで0に収束する( $\delta_n^2=O(n^{-3})$)。