関数の内積

区間$0\le t\le T$て定義された関数$f(t)$, $g(t)$の内積を

$$\langle{f(t),g(t)}\rangle \equiv \int_0^Tf(t)g(t)dt$$

と定義する。

このとき、任意の関数に対して

$$\langle{f(t), f(t)}\rangle \ge 0$$

が成立し $\langle{f(t),f(t)}\rangle =0$となるのは、恒等的に$f(t)=0$の場合に 限られる。

$$\Vert f(t)\Vert=\sqrt{\langle{f(t),f(t)}\rangle }$$

を$f(t)$のノルムと呼ぶ。 $\Vert f(t)\Vert\ge0$であり、等号は$f(t)=0$の場合に限られる。

恒等的に0でない 関数$f_1(t)$と$f_2(t)$の内積が0となるとき、$f_1(t)$と $f_2(t)$は互いに直交するという。

$$\langle{f_1(t),f_2(t)}\rangle = 0 \quad\Leftrightarrow \mbox{互いに直交する}$$

関数列 $\{\phi_n(t), n=1,2,3,\cdots\}$の各要素について、

$$\langle{\phi_k(t),\phi_m(t)}\rangle =0,\quad(k\ne m)$$

が成立するとき、この関数列は直交系を構成するという。

関数列 $\{\phi_n(t), n=1,2,3,\cdots\}$の各要素について、

$$\langle{\phi_k(t),\phi_m(t)}\rangle =\left\{ \begin{array}{ll} 1& (k=m)\\ 0& (k\ne m) \end{array} \right.$$

が成立するとき、この関数列は正規直交系を構成するという。