解答

$${I=\int\frac{x-1}{x^2-2x-3}dx}$$

$$\frac{x-1}{x^2-2x-3}=\frac{x-1}{(x-3)(x+1)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+1}$$

と部分分数に展開すると、係数A, Bは

$$\begin{eqnarray*} A&=& \left.\frac{x-1}{x+1}\right\vert _{x=3}=\frac{1}{2}\\ B&=& \left.\frac{x-1}{x-3}\right\vert _{x=-1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*} I&=& \frac{1}{2}\int\frac{dx}{x-3}dx+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+1}\\ &=&\frac{1}{2}\log(x-3)+\frac{1}{2}\log(x+1)+C \end{eqnarray*}$$