解答

$${\frac{dy}{dx}=2xy^2}$$

両辺を$y^2$で割り算すると、

$$y^{-2}\frac{dy}{dx}=2x$$

両辺を$x$で積分すると、左辺は$y$についての積分に変換できて、

$$\int y^{-2}\frac{dy}{dx}dx = 2\int xdx$$

$$\int y^{-2}dy=2\int xdx$$

$$\begin{eqnarray*} -y^{-1}&=& x^2+C\\ y^{-1}&=& -(x^2+C)\\ y &=& -\frac{1}{x^2+C} \end{eqnarray*}$$