解答

$${I=\int e^x\cos xdx}$$

部分積分を繰り返して

$$\begin{eqnarray*} I&=& \int\underbrace{e^x}_{{f_1}'}\underbrace{\cos x}_{g_1}d... ... &=&e^x(\cos x+\sin x)\\ I&=&\frac{1}{2}e^{x}(\cos x+\sin x)+C \end{eqnarray*}$$