部分分数展開

$${\frac{x}{x^2+3x+2}}$$

$$x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$$

であるから、

$$\frac{x}{x^2+3x+2}=\frac{x}{(x+2)(x+1)}$$

を

$$\frac{x}{(x+2)(x+1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+1}$$

と展開する。

このときの展開係数は次のようにして求めることができる。

上式の両辺に$x+2$をかけ算すると、

$$\frac{x}{x+1} = A+\frac{x+2}{x+1}B$$

を得る。ここで、$x=-2$と置くとBの係数が0となるので、 容易にAの値を求めることができる：

$$A=\frac{-2}{-2+1}=2$$

同様に、展開式の両辺に$x+1$をかけ算し、$x=-1$と置くとBの 値が求まる：

$$B=\left.\frac{x}{x+2}\right\vert _{x=-1}=\frac{-1}{-1+2}=-1$$

以上より、

$$\frac{x}{x^2+3x+2}=\frac{2}{x+2}-\frac{1}{x+1}$$

と展開できる。