解答

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解答

$\begin{displaymath}{I=\frac{x}{x^2+3x+2}}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \frac{x}{x^2+3x+2}=\frac{x}{(x+2)(x+1)} = \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+1} \end{displaymath}$

と部分分数に展開する。

展開係数を求めると、

$\begin{eqnarray*} A&=& \left.\frac{x}{x+1}\right\vert _{x=-2}\ =\ 2\\ B&=& \left.\frac{x}{x+2}\right\vert _{x=-1}\ =\ -1 \end{eqnarray*}$

であるから、

$\begin{eqnarray*} I&=& \int\left\{\frac{2}{x+2}-\frac{1}{x+1}\right\}dx\\ &=& 2\log(x+2)-\log(x+1)+C\\ &=& \log\{\frac{(x+2)^2}{x+1}\}+C \end{eqnarray*}$

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Teruhiro Kinoshita
平成16年1月18日