解説

$${I=\int xe^{-2x}dx}$$

部分積分により

$$\begin{eqnarray*} I&=&\int\underbrace{x}_{f}\times \underbrace{\left(-\frac{1}... ...e^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+C\\ &=& -\frac{1}{4}(2x+1)e^{-2x}+C \end{eqnarray*}$$

$u=-2x$と変数変換した場合も部分積分が必要となる：

$$u=-2x,\qquad x=-\frac{1}{2}u,\qquad dx=-\frac{1}{2}du$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} I&=& \int xe^{-2x}dx\\ &=& \int (-\frac{1}{2}u)e^u(-\frac{1... ... &=& \frac{1}{4}(u-1)e^u+C\\ &=& \frac{1}{4}(-2x-1)e^{-2x}+C \end{eqnarray*}$$

部分積分

$$\begin{eqnarray*} I &=& \int\underbrace{x}_{g}F'(x)dx\\ &=& \underbrace{x}_{g}F(x)-\int \underbrace{x'}_{g'}F(x)dx\\ &=& xF(x)-\int F(x)dx \end{eqnarray*}$$