解説

$${I=\int xe^{-x^2}dx}$$

置換積分

$$u=-x^2,\quad du=-2xdx,\quad xdu=-\frac{1}{2}du$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} I&=&\int \underbrace{e^{-x^2}}_{e^{u}} \underbrace{xdx}_{(-\... ...t e^udu\\ &=& -\frac{1}{2}e^u+C\\ &=& -\frac{1}{2}e^{-x^2}+C \end{eqnarray*}$$

置換積分

$$I=\int f(g(x))\cdot g'(x)dx$$

$u=g(x)$と置くと、$du=g'(x)dx$であるから、

$$I=\int f(u)du$$

と変換できる。

ここでは、

$$f(u)=e^u,\quad g(x)=-x^2,\quad g'(x)=-2xdx$$