別解

$${x^2\frac{dy}{dx}+xy=1}$$

1. 余関数:
   
   $$x^2\frac{dy_c}{dx}+xy_c=0$$
   
   
   を解く。
   $$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y_c}\frac{dy_c}{dx}&=& -\frac{1}{x}\\ \int\frac{dy... ...C\\ y_c &=& e^{-\log x+C}\ =\ Ae^{-\log x}\\ &=& \frac{A}{x} \end{eqnarray*}$$
   
   

2. 一般解

   定数変化法にしたがって、解を
   

   $$y = \frac{u(x)}{x}$$
   
   
   と置き、与えられた微分方程式に代入して整理すると、
   
   $$x^2\left\{\frac{u}{x}\right\}'+x\times\frac{u}{x}=1$$
   
   
   
   
   $$xu'= 1$$
   
   
   $$\begin{eqnarray*} u'&=& \frac{1}{x}\\ u &=& \int \frac{1}{x}dx\\ &=& \log x+C\\ y&=& \frac{u}{x}\\ &=& \frac{1}{x}(\log x+C) \end{eqnarray*}$$