解答

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解答

$\begin{displaymath}{x^2\frac{dy}{dx}+xy=1}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x^2} \end{displaymath}$

であるから、

$\begin{displaymath} P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=\frac{1}{x^2} \end{displaymath}$

として、

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \end{displaymath}$

の解

$\begin{displaymath} y=e^{-\int P(x)dx} \left\{ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C \right\} \end{displaymath}$

に代入する。

$\begin{eqnarray*} \int P(x)dx&=&\int\frac{1}{x}dx\ =\ \log x\\ e^{-\int P(x)}... ...frac{1}{x^2}\times xdx\\ &=& \int \frac{1}{x}dx\\ &=& \log x \end{eqnarray*}$

であるから、

$\begin{displaymath} y= \frac{1}{x}\left\{\log x+C\right\} \end{displaymath}$

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Teruhiro Kinoshita
平成16年1月21日