別解答

$${I=\int\frac{x}{x^2+1}dx}$$

$$x^2+1=(x+j)(x-j)$$

と因数分解できるので、

$$\frac{x}{x^2+1}=\frac{x}{(x+j)(x-j)}=\frac{A}{x+j}+\frac{B}{x-j}$$

と展開する。このときの展開係数は、

$$\begin{eqnarray*} A&=&\left.\frac{x}{x-j}\right\vert _{x=-j}\ =\ \frac{1}{2}\\ B&=&\left.\frac{x}{x+j}\right\vert _{x=j}\ =\ \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} I&=& \frac{1}{2}\int\left\{\frac{1}{x+j}+\frac{1}{x-j}\right\... ...&\frac{1}{2}\log\{(x+j)(x-j)\}+C\\ &=&\frac{1}{2}\log(x^2+1)+C \end{eqnarray*}$$