別解

$${I=\int\left(x+\frac{1}{x}\right)^3dx}$$

$$I=\int\frac{(x^2+1)^3}{x^3}dx$$

$u=x^2$と置くと、

$$x^2=u,\qquad x=\sqrt{u},\qquad dx=\frac{1}{2\sqrt{u}}du$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} I&=&\int\frac{(u+1)^3}{(\sqrt{u})^3}\frac{1}{2\sqrt{u}}du\\ ... ...\\ &=&\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x^4+3x^2+6\log x-\frac{1}{x^2})+C \end{eqnarray*}$$