積分と微分の関係

積分と微分は互いに逆の演算である。

$$F(x)=\int f(x) dx + C \quad \leftarrow\rightarrow\quad \frac{dF(x)}{dx} = f(x)$$

関数$f(x)$に対して、$F(x)$を定義する:

$$F(x) = \int_a^x f(t)dt$$

このとき、

$$\begin{eqnarray*} F(x+h)-F(x) &=& \int_a^{x+h}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt \\ &=& \int_x^{x+h} f(t)dt\\ &=& f(x_0)h,\quad(x\le x_0\le x+h) \end{eqnarray*}$$

であるから、

$$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}F(x) &=& \lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\ &=& \lim_{h\to0} f(x_0),\qquad(x\le x_0\le x+h)\\ &=& f(x) \end{eqnarray*}$$