複素数の対数

1. 対数関数の複素関数としての性質
2. 対数関数による複素平面への写像

---

1. 対数関数の複素関数としての性質
   
   • 多価関数の例 → 関数 y = x^1/2 を参照

   ---

2. 対数関数による複素平面への写像 w = log_e(z) による、複素 z 平面から複素 w 平面への写像

   ---

   • 操作方法
     • clear ボタンを押すと、左側に複素 z 平面、右側に複素 w 平面(w=log(z))が表示される。
       画面を消去し、表示を再開する場合も clear ボタンを押す。
     • z 平面上でマウスカーソルをドラッグすると、その軌跡が z 平面上に描かれる。
       同時に、w 平面上には w=log(z) による写像が描かれる。
   • 説明
     • z 平面で原点を中心とする円を描く（絶対値 = 一定）と、 写像は虚軸と平行な直線になる。
     • z 平面上の原点を通る直線（偏角 = 一定）は、 w 平面では実軸と平行な直線に写像される。
     • z 平面において、点 A から出発し、内側に原点を含まないように軌跡を描いて、 もとの点 A へ戻ると、
       w 平面上の写像も元の点へ戻り、閉じた図形を描く。
     • z 平面において、内側に原点を含むように軌跡を描くと、
       w 平面上の写像は閉じた図形を描かない。 w = log|z| + j∠z であるため、zの値は元の点に戻っても、 原点をまわると偏角には差(2π)が生じるたため、 wの虚数部の値がもとの点の値とは一致しないためである。
       このように対数関数 w = log(z) は多価関数となっている。