虚数 (imaginary number)
数x を2乗すると、x が正の数であろうが負の数であろうが、 x2は正の数になる。したがって、2次方程式
しかし、 2乗すると負の数になる想像上の数をイメージすると解が存在することになる。
この2乗すると負の値を持つ想像上の数（イマジナリ・ナンバー）を 虚数 (imaginary number) と呼ぶ。 特に、その2乗が -1 になる数を虚数単位と呼ぶ。
これに対して、これまでの2乗すると非負の値を持つ数を実数 (real number)と呼ぶ。 また、実数と虚数を包括して複素数 (complex number) と呼ぶ。 複素数を四則演算して得られる数も、また、複素数である。
複素数 (complex number)
電気工学、電子工学や通信工学などの分野では、 記号 i は電流を表現するのに用いるため、 -1 の平方根である虚数単位 (imaginary unit) を表すのに j を使用する。したがって、ここでも、
複素平面 (complex plane)
複素数は 3+2j などのように、2つの実数 x と y を用いて
したがって、実数を直線上の点に対応させることができる数直線を2次元に拡張し、 複素数 z を 平面上の点 (x, y) に対応付けることができる。 この平面を複素平面 (complex plane) 、 あるいは、 ガウス平面と呼んでいる。
tan-1 は tan の 逆関数であり、 arc tangent(アーク・タンジェント)と読む。
用語
| 複素平面(complex plane) | 複素数の実数部、虚数部を、それぞれ、横軸、縦軸の座標に対応させた平面 |
| 実軸(real axis) | 複素平面上での横軸、複素平面上の点に対応する複素数の実数部に対する座標軸 |
| 虚軸(imaginary axis) | 複素平面上での縦軸、複素平面上の点に対応する複素数の虚数部に対する座標軸 |
| 実数部(real part) | 複素数を2つの実数 x, y を用いて z=x+jyと表すときの x |
| 虚数部(imaginary part) | 複素数を z=x+jy と表すときの y。 ただし、x, yは実数 |
| 絶対値(absolute value) | その複素数に対応する複素平面上の点の原点からの距離 |
| 偏角(arugument) | その複素数に対応する複素平面上の点の実軸から測った角度 (左回りを正の方向とする） |
| 複素共役(complex conjugate) | 虚数部の符合を反転して得られる複素数を もとの複素数と互いに複素共役(ふくそきょうやく) であると言う。 x+jy と x-jy は互いに複素共役である。 |
複素数と複素平面の対応
複素数の値を入力して、複素平面(ガウス平面)上に対応する点をプロットしてみよう。- 偏角の単位は radian 、または、degree (度) を選択できるようになっている。
- 実数部 (Re) 、虚数部 (Im)、絶対値 (Abs)、あるいは、 偏角 (Arg) の値を入力すると、 複素平面上に対応する点が表示される。
- 複素平面上でマウスをクリックするか、ドラッグするとマウスの位置に対応する 複素数の値が表示される。
- ここで、注意すべき点は、２つの複素数について、その絶対値が同じでかつ、 偏角の差が 360° の整数倍の場合には 同一の複素数を表すことである。 すなわち、複素数の偏角の表現法は一意的ではない。