三角関数と一般角

角度を連続的に変化させると、三角比も変化するので、

$$f(\theta)=\sin \theta$$

は$\theta$を独立変数とする関数と見なすことができる。 $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$などを総称して三角関数(trigonomic functions)と呼んでいる。

図3に示すように、 x-y平面上に原点を中心とした半径1の円(単位円)を描き、 この円周上に点Pを取り、反時計回りにx軸から測った角度を$\theta$とする。 また、P点の座標を$x, y$とする。

図 3: 単位円上の点と三角関数

このとき、

$$\begin{eqnarray*} \sin\theta &=& y\\ \cos\theta &=& x\\ \tan\theta &=&\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$$

である。

ここで、P点を円周に沿って移動すると、 $\frac{\pi}{2}(=90^\circ)$より大き な角度$\theta$、および、負の角度に対し、上の式により三角関数を定めることができる。

図と上の式より予想できるように、

$$\begin{eqnarray*} \sin(-\theta)&=&-\sin\theta\\ \cos(-\theta)&=& \cos\theta \end{eqnarray*}$$

が成立し、$\sin$は奇関数、$\cos$は偶関数である。

図の点Pは1周($2\pi$)するともとの場所に戻るので、三角関数 $\sin\theta, \cos\theta$は周期を$2\pi$とする周期関数である:

$$\begin{eqnarray*} \sin(\theta+2\pi)&=&\sin\theta\\ \cos(\theta+2\pi)&=&\cos\theta \end{eqnarray*}$$