ブール代数の定理

公理から導かれるルールを定理(theorem)と呼ぶ．

ブール代数は上の述べた双対性を持つので，以下では，互いに双対な定理を併記する．

表 2: ブール代数の基本的な定理

	(i)	(ii)
定理1	$\overline{\overline{A}}=A$		復帰則
定理2	$A\cdot A=A$	$A+A=A$	べき等則
定理3	$A\cdot0=0$	$A+1=1$	0元の性質 / 1元の性質
定理3'	$A\cdot1=A$	$A+0=A$	単位元則
定理4	$A\cdot\overline{A}=0$	$A+\overline{A}=1$	補元の性質
定理5	$A\cdot B=B\cdot A$	$A+B=B+A$	交換則
定理6	$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot(B\cdot C)$	$(A+B)+C=A+(B+C)$	結合則
定理7	$A + B \cdot C=(A+B)\cdot(A+C)$	$A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C$	分配則
定理8	$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$	$\overline{A+B}=\overline{A}\cdot\overline{B}$	ド・モルガンの定理
定理9	$A+A\cdot B=A$	$A\cdot(A+B)=A$	吸収則

これらの定理は公理を用いて証明することができる．

証明の方法は１通りではなく，真理値表，ベン図を用いて証明することもできる．

定理1

(復帰則)

$$\overline{\overline{A}}=A$$

$$\overline{(\overline{0})} = \overline{1}=0$$

$$\overline{(\overline{1})} = \overline{0}=1$$

定理7

(分配則)

$$A+B\cdot C= (A+B)\cdot (A+C)$$