三角関数の直交性

$$\begin{eqnarray*} \langle{1,\cos\frac{2n\pi}{T}t}\rangle &=& \int_0^T\cos\fra... ...rac{1}{\frac{2(n-m)\pi}{T}} \right\} \\ &=& 0,\qquad(n\ne m) \end{eqnarray*}$$

なお、

$$\begin{eqnarray*} \Vert 1\Vert^2&=& \langle{1,1}\rangle =\int_0^Tdt=T\\ \Ver... ...c{4n\pi}{T}t\right]_0^T \\ &=&\frac{T}{2},\qquad(n\ne 0) \\ \end{eqnarray*}$$

複素指数関数の場合は、

$$\begin{eqnarray*} \langle{e^{\frac{2n\pi j}{T}t},e^{\frac{2m\pi j}{T}t}}\rangle... ...c{2m\pi j}{T}t}dt\\ &=& \int_0^{T}e^{\frac{2(m-n)\pi j}{T}t}dt \end{eqnarray*}$$

であるから、$m\ne n$の場合には、

$$\begin{eqnarray*} \langle{e^{\frac{2n\pi j}{T}t},e^{\frac{2m\pi j}{T}t}}\rangle... ...ac{T}{2(m-n)\pi j} \left\{e^{2(m-n)\pi j}-e^0\right\}\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$

また、$n=m$の場合には、

$$\begin{eqnarray*} \Vert e^{\frac{2n\pi j}{T}t}\Vert^2 &=& \langle{e^{\frac{2n... ...},e^{\frac{2n\pi j}{T}t}}\rangle \\ &=& \int_0^Tdt\\ &=& T \end{eqnarray*}$$

となる。