解答

$${y=\tan^{-1}x}$$

$$x = \tan y = \frac{\sin y}{\cos y}$$

と表されるので、両辺を$y$で微分して、

$$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} &=&\frac{(\sin y)'\cos y-\sin y (\cos y)'}{\co... ...\frac{\cos^2y+\sin^2y}{\cos^2y}\\ &=& 1+\tan^2 y\\ &=& 1+x^2 \end{eqnarray*}$$

したがって、

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{1+x^2}$$