解答

$${y''+3y'+2y=10\sin x,\ (\mbox{初期条件: y(0)=y'(0)=0})}$$

1. 余関数：
   
   $${y_c}''+3{y_c}'+2y_c=0$$
   
   
   を解く。

   補助方程式
   

   $$m^2+3m+2=0$$
   
   
   より、
   
   $$(m+2)(m+1)=0\quad\Rightarrow\quad m=-2, -1$$
   
   
   
   
   $$y_c =C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}$$
   
   

2. 特解

   
   

   $$y_p = a\cos x+b\sin x$$
   
   
   が与えられた微分方程式の特解となるよう、定数a, bを定める。
   $$\begin{eqnarray*} 2y_p&=& 2a\cos x+2b\sin x\\ 3{y_p}'&=& 3b\cos x-3a\sin x\\ {y_p}''&=&-a\cos x-b\sin x \end{eqnarray*}$$
   
   
   であるから、これらを与えられた微分方程式に代入すると、
   
   $$(a+3b)\cos x+(b-3a)\sin x = 10\sin x$$
   
   
   したがって、
   $$\begin{eqnarray*} a+3b &=& 0\\ b-3a &=& 10 \end{eqnarray*}$$
   
   
   これを解いて、
   
   $$a=-3,\qquad b=1$$
   
   
   したがって、
   
   $$y_p = -3\cos x+\sin x$$
   
   
   は与えられた微分方程式の特解である。
3. 一般解:
   $$\begin{eqnarray*} y&=& y_c+y_p\\ &=& C_1e^{-2x}+C_2 e^{-x}-3\cos x+\sin x \end{eqnarray*}$$
   
   

4. 初期条件： $y(0)=y'(0)=0$
   $$\begin{eqnarray*} y(x)&=& C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}-3\cos x+\sin x\\ y'(x)&=& -2C_... ...-3\ =\ 0\\ y'(0)&=& -2C_1-C_2+1\ =\ 0\\ C_1&=&-2\\ C_2&=&5 \end{eqnarray*}$$
   
   
   したがって、求める解は、
   
   $$y=-2e^{-2x}+5e^{-x}-3\cos x+\sin x$$