解答

$${I=\int e^{x+\log x}dx}$$

$$e^{x+\log x}=e^xe^{\log x}=e^{x}x$$

と変形できるので、

$$I=\int xe^xdx$$

部分積分により、

$$\begin{eqnarray*} I&=& \int \underbrace{x}_{f}\underbrace{e^x}_{g'}dx \ =\ \un... ...g}dx\\ &=& xe^x-\int e^xdx \ =\ xe^x-e^x+C\\ &=& (x-1)e^x+C \end{eqnarray*}$$