行列式の性質を利用した計算の例

(1) $\qquad\displaystyle y= \left\vert\begin{array}{ccc} 1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 1 \end{array}\right\vert$

第2行を2でまとめる。(性質1)

$$y= 2\left\vert\begin{array}{ccc} 1& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ 3& 6& 1 \end{array}\right\vert$$

第1行と第2行が等しいので、(性質4)

$$y=0$$

(2) $\qquad\displaystyle y= \left\vert\begin{array}{ccc} 2& 4& 1\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& -2 \end{array}\right\vert$

第2行の2倍を第1行から引く(性質5)

$$y= \left\vert\begin{array}{ccc} 0& 0& 3\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& -2 \end{array}\right\vert$$

第3列へ第1列を加え、第2列へ第1列の-2倍を加える(性質5)

$$y= \left\vert\begin{array}{ccc} 0& 0& 3\\ 1& 0& 0\\ 2& -3& 0 \end{array}\right\vert = 3\times1\times(-3)=-9$$

(3) $\qquad\displaystyle y= \left\vert\begin{array}{ccc} 2& 1& 3\\ 1& 3& 2\\ ... ...ert\begin{array}{ccc} 1& 1& 3\\ 1& 3& 2\\ 3& 2& 1 \end{array}\right\vert$

2つの行列式の各要素は、第1列を除いて等しいので、性質6を用いて、

$$\begin{eqnarray*} y&=& \left\vert\begin{array}{ccc} 2-1& 1& 3\\ 1-1& 3& 2\\... ...array}\right\vert \\ &=& 1\times3\times1-1\times2\times2 =-1 \end{eqnarray*}$$