同期式順序回路(1), (2)

1. JKフリップフロップの動作特性(復習)
2. 3進カウンタ
3. 7進カウンタの設計
4. 11進カウンタの設計
5. n進カウンタの設計方針

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クロック信号(CK)に同期して動作する順序回路

JKフリップフロップ

JKフリップフロップの動作

		CK J K Q' 0 0 Q (hold) 0 1 0 (reset) 1 0 1 (set) 1 1 Q (toggle) それ以外 ＊ ＊ Q (hold) ＊ : 0でも1でもよい．
記号		特性表
ネガティブエッジ型JKフリップフロップ

• (J,K)=(0,0)： 保持動作(hold)
• (J,K)=(1,0)： セット動作(set)
• (J,K)=(0,1)： リセット動作(reset)
• (J,K)=(1,1)： 反転動作(トグル, toggle)

状態 CK動作後 Qn J K Qn+1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0		JKフリップフロップの状態遷移図

左上の表は次のように書き換えることができる．

状態 CK動作後 Qn J K Qn+1 0 0 × 0 0 1 × 1 1 × 0 1 1 × 1 0		Q=0の状態で，J=0を入力すると，Q=0を保持する Q=0の状態で，J=1を入力すると，Q=1に遷移する Q=1の状態で，K=0を入力すると，Q=1を保持する Q=1の状態で，K=1を入力すると，Q=0に遷移する

JKフリップフロップの動作特性

• Q=0の状態で，J=0を入力すると，Q=0を保持する
• Q=0の状態で，J=1を入力すると，Q=1に遷移する
• Q=1の状態で，K=0を入力すると，Q=1を保持する
• Q=1の状態で，K=1を入力すると，Q=0に遷移する

このJKフリップフロップの特性は次の表にまとめることができる．

入力		状態の変化
J	K	Qn → Qn+1
0	×	0 → 0
1	×	0 → 1
×	0	1 →  1
×	1	1 →  0

表中の ×  は，0, 1 のどちらでも構わないことを表す。

Q: 0 → 0	Q = 0 の状態で， J = 0 を入力するとセットされない
Q: 0 → 1	Q = 0 の状態で， J = 1 を入力するとセットされる
Q: 1 → 1	Q = 1 の状態で， K = 0 を入力するとリセットされない
Q: 1 → 0	Q = 1 の状態で， K = 1 を入力するとリセットされる

3進カウンタ

3進カウンタのタイムチャート

これを実現するには，少なくとも3つの状態を持つ順序回路が必要に鳴る．
ここでは，2つのJKフリップフロップを使用する．

フリップフロップ FF₀, FF₁の各出力を Q₁, Q₀と表し，

      (Q1, Q0) = (0, 0),  (0, 1),  (1, 0)

J, K端子への入力信号

カウンタ動作に要求される J, K入力の値

• クロックパルスに同期して，n = 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ... と変化を繰り返す
• nでの各JKクリップフロップの出力を Q₁ⁿ, Q₀ⁿ と表す
• クロックパルスの立ち下がり直後のフリップフロップの出力を Q₁ⁿ⁺¹, Q₀ⁿ⁺¹ と表す
• n=2の次は，n=0に戻ることに注意して3進カウンタの状態の遷移を調べる

クロックパルス立ち下がり前後での状態の遷移

• n=0から1への遷移とそのための J, Kへの入力信号
  • (Q₁, Q₀) = (0, 0) から (0, 1) へ
  • Q₁は 0 から 0 へ(リセット状態を保持する)
    • この動作のための入力は， (J₁, K₁)=(0,×)
  • Q₀は 0 から 1 へ(セット状態へ遷移する)
    • この動作のための入力は， (J₀, K₀)=(1,×)

  n=0から1への状態の変化とそのためのJ, K への入力

  	(Q1, Q0)の状態		クロック信号の立ち下がり前後での状態の変化		各J, K端子への入力
  n	Q1n	Q0n	Q1n → Q1n+1	Q0n → Q0n+1	J1	K1	J0	K0
  0	0	0	0 → 0 (hole)	0 → 1 (set)	0	×	1	×

  × は 0, 1 のどちらでも構わないことを表す

• 同様にして，
  • n=1から2への遷移とそのための J,Kへの入力信号を求める
  • n=2から0への遷移とそのための J,Kへの入力信号を求める
  以上により得られる，3進カウンタの動作とJ, K端子への入力信号を下表に示す．

3進カウンタの動作表

	(Q1, Q0)の状態		クロック信号の立ち下がり前後での状態の変化		各J, K端子への入力
n	Q1n	Q0n	Q1n → Q1n+1	Q0n → Q0n+1	J1	K1	J0	K0
0	0	0	0 → 0 (hold)	0 → 1 (set)	0	×	1	×
1	0	1	0 → 1 (set)	1 → 0 (reset)	1	×	×	1
2	1	0	1 → 0 (reset)	0 → 0 (hold)	×	1	0	×

× は 0, 1 のどちらでも構わないことを表す

表の説明

• 1列目(n)：　順に入力するクロック信号の番号
• 2列目：　(Q₁, Q₀) の値
• 3列目：　クロック信号の立ち下がり前後での出力値の変化
• 4列目：　出力変化のために要求される (J, K)の値

3進カウンタの状態の遷移

J₁, K₁ への入力信号

上の3進カウンタの動作表の Q₁ⁿ, Q₀ⁿ, J₁, K₁の列 より，次の真理値表(下図左側)が得られる．
さらに，右側のカルノー図が得られる：

真理値表 Q1n Q0n J1 K1 0 0 0 × 0 1 1 × 1 0 × 1		カルノー図   J1 Q1=0 Q1=1 Q0=0 0 × Q0=1 1 K1 Q1=0 Q1=1 Q0=0 × 1 Q0=1 × 空欄は未定義項

カルノー図を利用して，J₁, K₁ へ入力する信号を Q₁, Q₀ の論理式で表すことができる:

      J1 = Q0,  K1 = Q0

J₀, K₀ への入力信号

同様に，上の3進カウンタの動作表より，次の真理地表とカルノー図が得られる：

真理値表 Q1n Q0n J0 K0 0 0 1 × 0 1 × 1 1 0 0 ×		カルノー図   J0 Q1=0 Q1=1 Q0=0 1 0 Q0=1 × K0 Q1=0 Q1=1 Q0=0 × × Q0=1 1 空欄は未定義項

      J0 = Q1,  K0 = Q1

以上より，

      J0 = K0 = Q1,    J1 =  Q0,  K1 = Q0

が得られる． この式に従って結線した回路図を以下に示す．

シミュレーション：

7進カウンタ

各フリップフロップに要求される状態の変化を下表に示す．

• 7進カウンタであるから，n = 0, 1, 2, ..., 5, 6 と変化して次は0に戻る
• JKフリップフロップの特性から， 上の動作をするためのJK端子への入力値が定まる．

• J₂と K₂の決定

  上の表から，Q₂ⁿ, Q₁ⁿ, Q₀, J₂ (K₂)の列だけを取り出す:

  Q2n Q1n Q0n J2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 × 1 0 1 × 1 1 0 ×		Q2n Q1n Q0n K2 0 0 0 × 0 0 1 × 0 1 0 × 0 1 1 × 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1

  カルノー図を利用して，J₂ (K₂) を Q₂, Q₁, Q₀ の論理式で表すことができる．

  
  J₂ = Q₁·Q₀,      K₂ = Q₁
• (J₁, K₁)の決定

  (J₂, K₂)の場合と同様に 7進カウンタの状態の変化と J, K への入力の表から， Q₂ⁿ, Q₁ⁿ, Q₀, J₁, K₁の列だけを取り出す:

  Q2n	Q1n	Q0n	J1	K1
  0	0	0	0	×
  0	0	1	1	×
  0	1	0	×	0
  0	1	1	×	1
  1	0	0	0	×
  1	0	1	1	×
  1	1	0	×	1

  カルノー図を利用して，J₁, K₁ を Q₂, Q₁, Q₀ の論理式で表す．

  
  J₁ = Q₀,      K₁ = Q₂ + Q₀
• (J₀, K₀)の決定

  同様に， 7進カウンタの状態の変化と J, K への入力の表から， Q₂ⁿ, Q₁ⁿ, Q₀, J₀,K₀の列だけを取り出す:

  Q2n	Q1n	Q0n	J0	K0
  0	0	0	1	×
  0	0	1	×	1
  0	1	0	1	×
  0	1	1	×	1
  1	0	0	1	×
  1	0	1	×	1
  1	1	0	0	×

  カルノー図を利用して，J₀, K₀ を Q₂, Q₁, Q₀ の論理式で表す．

  
  J₀ = Q₂ + Q₁ = Q₂· Q₁,      K₀ = 1 (あるいは K₀ = Q₀)

11進カウンタ

• 4ビットが必要である
• JKフリップフロップを4段使用し，11進カウンタとして動作するように 組み合わせ回路を設計する
• (J, K)端子への入力信号とQ₃, Q₂, Q₁, Q₀ の関係をカルノー図を利用して論理式で表す

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2進表現	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010

各フリップフロップに要求される状態の変化を下表に示す．

JKフリップフロップの特性から， 上の動作をするためのJK端子への入力値が定まる．

(J₀, K₀)

J₀, K₀ についてカルノー図を使用して論理式を求める．

J₀ = Q₃ + Q₁ = Q₃· Q₁
K₀ = 1

あるいは

J₀ = K₀ = Q₃· Q₁

(J₁, K₁)

J₁, K₁ についてカルノー図を使用して論理式を求める．

J₁ = Q₀
K₁ = Q₃ + Q₀

(J₂, K₂)

J₂, K₂ についてカルノー図を使用して論理式を求める．

J₂ = K₂ = Q₁·Q₀

(J₃, K₃)

J₃, K₃ についてカルノー図を使用して論理式を求める．

J₃ = Q₂·Q₁·Q₀
K₃ = Q₁

n進カウンタの設計方針